几何平均数公式推导？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
假设有n个正数 a1, a2, ..., an，那么其几何平均数G可以表示为G = √(a1*a2*...*an)。
为了推导几何平均数的公式，我们可以使用对数运算。
首先取所有数的对数，设b1 = log(a1), b2 = log(a2), ..., bn = log(an)。
这样，我们的目标变为求解等比数列 b1, b2, ..., bn 的平均数。
根据等比数列的性质，可以知道平均数的对数就是等差数列的中项的对数。
所以我们需要找到等差数列的中项。
设等差数列的首项为b1，公差为d，那么中项b(k)可以表示为b(k) = b1 + (k-1)d。
为了找到公差d，我们可以使用等差数列的前两项b1和b2的差异：d = b2 - b1。
将等差数列中项的表达式代入，我们可以得到b(k) = b1 + (k-1)(b2 - b1)。
我们希望中项的索引k是等于n/2（如果n是奇数，则取k = (n+1)/2），这样等差数列的中项就是几何平均数的对数了。
将k代入中项的表达式，我们就可以得到几何平均数的对数：b(n/2) = b1 + (n/2-1)(b2 - b1)。
对数的运算是指数运算的反运算，所以我们可以将对数结果转回为实数形式，即几何平均数G = e^(b(n/2))。
这样我们就推导出了几何平均数的公式。